Statistique Inférentielle

La statistique inférentielle est la branche des statistiques qui permet de tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon. Contrairement à la statistique descriptive qui décrit les données observées, l'inférence généralise les résultats à la population entière. **Définitions clés :** - Population (Ω) : ensemble complet des individus ou observations d'intérêt - Échantillon : sous-ensemble de la population, observé en pratique - Paramètre (θ) : caractéristique inconnue de la population - Statistique : fonction des observations de l'échantillon **Source :** Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury Press. [Référence fondamentale, >45,000 citations Google Scholar]

**Distribution Normale (Gaussienne) :** X ~ N(μ, σ²) avec densité : f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)²/(2σ²)) Propriétés : - Symétrique autour de μ - 95% des observations dans [μ-1.96σ, μ+1.96σ] - Fondamentale pour l'inférence (Théorème Central Limite) **Distribution du Chi-carré (χ²) :** Si Z₁, ..., Zₖ ~ N(0,1) indépendantes, alors Σ Zᵢ² ~ χ²(k) Utilisée pour les tests d'indépendance et les intervalles de confiance de variance. **Distribution de Student (t) :** T = Z / √(V/k) ~ t(k) où Z ~ N(0,1), V ~ χ²(k), Z et V indépendantes Utilisée quand σ² est inconnue (cas pratique courant). **Distribution de Fisher (F) :** F = (V₁/k₁)/(V₂/k₂) ~ F(k₁, k₂) où V₁ ~ χ²(k₁), V₂ ~ χ²(k₂) Utilisée pour comparer variances et en ANOVA. **Source :** Rice, J. A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis (3rd ed.). Duxbury Press. [>25,000 citations, excellent pour applications]

**Énoncé :** Soit X₁, X₂, ..., Xₙ un échantillon i.i.d. avec E[Xᵢ] = μ et Var(Xᵢ) = σ² < ∞. Alors : (X̄ₙ - μ)/(σ/√n) →ᴸ N(0,1) quand n → ∞ où X̄ₙ = (1/n)Σ Xᵢ est la moyenne empirique. **Implications pratiques :** - La moyenne d'un grand échantillon suit approximativement une loi normale - Valide même si la population n'est pas normale - Justifie l'utilisation de tests basés sur la normalité **Convergence en distribution :** Pour n ≥ 30, l'approximation est généralement acceptable. **Source :** Lehmann, E. L., & Romano, J. P. (2008). Testing Statistical Hypotheses (2nd ed.). Springer. [Fondements théoriques rigoureux]

**Exercice 1:** Soit X ~ N(100, 15²). Calculer P(X > 115). **Solution:** Standardisation : Z = (X - μ)/σ = (115 - 100)/15 = 1 P(X > 115) = P(Z > 1) = 1 - Φ(1) ≈ 1 - 0.8413 = 0.1587 ≈ 15.87% Interprétation : Environ 15.87% des observations dépassent 115. **Exercice 2:** Un échantillon de n=100 observations d'une population avec μ=50 et σ=10. Quelle est la distribution approximative de X̄? **Solution:** Par le TCL : X̄ ~ N(50, 10²/100) = N(50, 1) Donc X̄ ~ N(50, 1²) Interprétation : La moyenne empirique suit une loi normale avec moyenne 50 et écart-type 1.

**Définition :** Un estimateur θ̂ = θ̂(X₁,...,Xₙ) est une statistique destinée à estimer le paramètre inconnu θ. **Propriétés désirables :** 1. **Sans biais :** E[θ̂] = θ - L'estimateur ne surestime ni ne sous-estime systématiquement - Exemple : X̄ est sans biais pour μ 2. **Convergence :** θ̂ →ᵖ θ quand n → ∞ (consistance) - L'estimateur se rapproche de la vraie valeur avec plus de données 3. **Efficacité :** Var(θ̂) minimale parmi les estimateurs sans biais - Mesurée par l'Inégalité de Cramér-Rao 4. **Robustesse :** Peu sensible aux valeurs aberrantes **Source :** Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Chapitre 7 : Point Estimation.

**Principe :** Choisir θ qui maximise la probabilité d'observer les données observées. **Vraisemblance :** L(θ; x₁,...,xₙ) = ∏ f(xᵢ; θ) **Log-vraisemblance :** ℓ(θ) = log L(θ) = Σ log f(xᵢ; θ) **Estimateur MLE :** θ̂ₘₗₑ = argmax_θ ℓ(θ) **Propriétés (pour n grand) :** - Asymptotiquement sans biais - Asymptotiquement normal : √n(θ̂ₘₗₑ - θ) →ᴸ N(0, I(θ)⁻¹) - Efficace asymptotiquement (atteint la borne de Cramér-Rao) où I(θ) = -E[∂²ℓ/∂θ²] est l'information de Fisher. **Exemple :** Pour X ~ N(μ, σ²), les MLE sont μ̂ = X̄ et σ̂² = (1/n)Σ(Xᵢ - X̄)² **Source :** Rice, J. A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis. Chapitre 8 : Estimation.

**Principe :** Égaler les moments empiriques aux moments théoriques. **Moments empiriques :** m_k = (1/n)Σ Xᵢᵏ **Moments théoriques :** μ_k = E[Xᵏ] **Procédure :** 1. Exprimer les paramètres en fonction des moments théoriques 2. Remplacer par les moments empiriques 3. Résoudre pour les estimateurs **Exemple :** Pour X ~ N(μ, σ²) - m₁ = X̄ = μ̂ (premier moment) - m₂ = (1/n)Σ Xᵢ² = μ² + σ² → σ̂² = m₂ - m₁² **Avantages :** Simple à calculer, toujours existe **Inconvénients :** Moins efficace que MLE, peut donner des estimations aberrantes **Source :** Lehmann, E. L., & Romano, J. P. (2008). Testing Statistical Hypotheses.